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1 前言

多轴联动的线性插补及其加减速算法是高档数控系统的核心技术。加减速处理分前加减速处理和后加减速处理。前加减速处理在插补之前,其优点在于对合成速度进行控制,不影响位置精度,但要进行减速点的预测。前加减速通常采用直线加减速。后加减速是对各插补轴分别进行加减速控制,由于各轴之间没有协调关系,因此,合成位置可能不准确。
S曲线加减速通常用于后加减速处理,我们在开发基于开放式数控系统的多坐标联动纤维缠绕机时,将其应用于前加减速处理,取得了很好的效果。

2 多轴联动的线性插补S加减速

S曲线加减速规划是指在加减速时,使其加速度的导数(Jerk) da/dt为常数,通过对加Jerk值的控制来最大限度地减小对机械系统造成的冲击。另外,通过对加速度和Jerk两个物理量的参数设定或编程设定,可实现柔性加减速控制,以适应不同种类机床的工况。
设在n维线性插补数控程序中,任意一段插补数据为
| P1, P2, …,Pn, F |
其中:F为合成速度,P1~Pn为各插补轴当前段的位移。
根据线性插补原理,各插补轴的位移与速度比相等,则有应于各插补轴的分速度。令
|Pi|=P=TSEP      i=1, 2, …, n
FiF
(1)

式中:P=(Pi2)½表示合成位移;TSEP表示该线性插补段各轴同时到达终点所需时间;F1~F2为合成速度对应于各插补轴的分速度。
Ki=Pi      i=1, 2, …, n
P
(2)
Fi=KiF      i=1, 2, …, n(3)
在前加减速处理时,对给定速度进行规划,如图1所示,整个加减速过程分为三段,即加速段(1, 2, 3区),匀速段(4区)和速段(4, 5, 6区)。在加速段和减速段,又分别包括变加减速区(1, 3, 5, 7区)和恒加减速区(2, 6区):变加减速区,|da/dt|=J, Jerk为恒值;恒加减速区,|a|=A,加速度为恒值,匀速段(4区)的速度为恒值Vc。
  1. 各轴的运动参量成比例
    对已规划的合成速度v(t)在te点幂级数展开,令∆t=t-tx,有
    v(t)=v(tx)+a(tx)∆t+½J(te)∆t2(4)
    同理,各插补轴对应.点速度
    vi(t)=vi(te)+ai(te)∆t+½Ji(tx)∆t2F      i=1, 2, …, n(5)
    根据线性插补原理,合成速度与各插补轴速度有下列比例关系:
    vi(t)=Kiv(t)F      i=1, 2, …, n(6)
    对于上面恒等式,应有
    vi(tx)=Kiv(tx), ai(tx)=Kia(tx), Ji(tx)=KiJ(tx)(7)
    由于tx为任意一点,此式表明段内加减速过程中各插补轴的速度、加速度和Jerk分别与合成的速度、加速度和Jerk对应成比例。当对合成速度按S曲线规划时,各插补轴在保证空间轨迹的同时,也按S曲线进行加减速,即 S曲线加减速可用于前加减速控制。同时,上述关系可用于各插补轴的速度、加速度和Jerk的极限值检查。
  2. S加减速的插补递推公式
    设插补周期为T,则在第k个插补周期结束时的合成位移Sk为
    Sk=
    tkv(t)dt=tk-1v(t)dt+tk-1+Tv(t)dt=Sk-1t(vk-1+ak-1t+½Jt2)dt=Sk-1+vk-1T+½ak-1T2+(1/6)JT3
    00tk-10
    (8)
    第k个插补周期内的合成位移增量为
    ∆Sk=vk-1T+(1/2)ak-1T2+(1/6)JT3=vk-1T+(1/2)(ak-1+(1/3)JT)T2=vk-1+(1/2)akT2=(vk-1+(1/2)akT)=vkT(9)
    ak=ak-1+(1/3)JT(10)
    vk=vk-1+(1/2)akT(11)
    注意,上述递推公式是分区适应的,即
    J={J, T∈[t0,t1]∪t6,t7
    0, t∈(t1,t2)∪(t3,t4)∪(t5,t6)
    -J, t∈[t2,t3]∪[t4,t5]
    (12)
    只要初始条件ak-1和vk-1给定,则可推导出各插补周期的合成位移增量。进而得到各插补轴在插补周期内的位移增量,其公式为
    ∆Pik=Pi∆Sk=Ki∆Sk
    P
    (13)
    区间的判别
    段内加减速时,每程序段伺服电动机速度总要减到零后再执行下一程序段。因此其加速段和减速段的位移相等,见图1。
    1区(t0-t1)的初始速度和初始加速度为0,则在t1时刻的位移Pti=(1/6)Jt13,其加速度a1=A=Jts,速度Vt1=(1/2)At12=(1/2)Ats,则
    ts=t1=A/J(14)
    由图1中的加速度图线可以看出
    V=(1/2)Ats+Atl+(1/2)Ats=A(ts+tl)(15)
    tl=(V/A)-(A/J)(16)
    ta=2ts+tl=(V/A)+(A/J)(17)
    由ts、tl、tm可计算出t0~t7的时间,并以此进行区间判别。
  3. 终点判别
    终点距离∆S及各轴距终点距离∆Si

     

    ∆S=P-k∆Sk
    1
    (18)
    ∆Si=Pi-k∆Pik
    1
    (19)

3 算法描述

加减速的规划在插补预处理中进行。
  1. 读入A、J、V、Pi。
  2. 计算ki,计算出的各轴的速度和加速度将与各轴的极限值比较,如果超出极限值,修正V。
  3. 扫描速度倍率K,令V=KV。
  4. 初始化,t0=O,∆Si=Pi。
  5. 速度规划,计算tl、ts、tm。
  6. 置速度规划完成标志。
  7. 插补。
插补的计算流程框图如图2所示,插补预处理的加减速规划中,已得出各区的时间范围,插补时只需判断当前插补周期所在区间,即可按插补迭代公式计算出各插补轴与速度规划适应的位移增量,从而实现其加减速。

4 结语

本文给出了基于速度S曲线加减速规划的插补迭代算法,并应用于前加减速处理。虽然只考虑了一般情况下的段内加减速,但其思想和方法对更复杂的段内加减速和段间加减依然适用。本文给出的算法可采用加速度和加速度导数编程,能最大限度地适应各类数控机床的加工工况,同时,本算法也非常简洁和易于实现。

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